נקודות קיצון מבגרות 482 – f(x) = 2sin x + cos(2x)חקירת פונקציות טריגונומטריות 571 · שיעור 17
בגרות 482 · קיץ 2018 מועד ב׳ · שאלה 3 · סעיף א
שיעור 17 – נקודות קיצון מבגרות 482 – f(x) = 2sin x + cos(2x)
פרק 2 – גזירה ומציאת נקודות קיצון
1נוסח השאלה
2סעיף א – שלב 1: הנגזרת
3סעיף א – שלב 2: משווים את הנגזרת ל־0
4סעיף א – שלב 3: סוג הנקודות ושיעורי y
5לבדיקה – הגרף
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = 2sin x + cos(2x) , המוגדרת בתחום 0 ≤ x ≤ π2 .
א. מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבע את סוגן.
סעיף א – שלב 1: הנגזרת
גוזרים כל איבר בנפרד:
(2sin x)′ = 2cos x
📐 נגזרת של סינוס
את cos(2x) גוזרים לפי הנוסחה לקוסינוס של ax + b , כאן a = 2 :
[cos(2x)]′ = −2sin(2x)
📐 נגזרת של קוסינוס (פונקציה מורכבת)
f′(x) = 2cos x − 2sin(2x)
✅ פתרון סופי: f′(x) = 2cos x − 2sin(2x)
📐 נגזרת של סינוס
(sin x)′ = cos x
📐 נגזרת של קוסינוס (פונקציה מורכבת)
[cos(ax + b)]′ = −a · sin(ax + b)
סעיף א – שלב 2: משווים את הנגזרת ל־0
בנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת:
2cos x − 2sin(2x) = 0
📐 נקודת קיצון
במשוואה יש זווית x וגם זווית 2x . כדי שכל המשוואה תהיה בזווית x , נפתח את sin(2x) לפי הזהות:
2cos x − 2sin(2x) = 0
נציב sin(2x) = 2sin x · cos x :
📐 סינוס של זווית כפולה
2cos x − 2 · 2sin x · cos x = 0
📐 נקודת קיצון
בנקודת קיצון פנימית f′(x) = 0
📐 סינוס של זווית כפולה
sin(2x) = 2 sin x · cos x
סעיף א – שלב 2: משווים את הנגזרת ל־0 · המשך
2cos x − 2 · 2sin x · cos x = 0
2cos x − 4sin x · cos x = 0
בשני האיברים יש 2cos x – מוציאים אותו כגורם משותף:
2cos x · (1 − 2sin x) = 0
לכן cos x = 0 או 1 − 2sin x = 0
📐 מכפלה שווה 0
אפשרות 1: cos x = 0 . הזווית שהקוסינוס שלה 0 היא π2 :
📐 מכפלה שווה 0
מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0
סעיף א – שלב 2: משווים את הנגזרת ל־0 · המשך
אפשרות 1: cos x = 0 . הזווית שהקוסינוס שלה 0 היא π2 :
x = π2 + 2πk
📐 פתרון המשוואה cos x = cos a
x = −π2 + 2πk
בתחום 0 ≤ x ≤ π2 מתקבל רק x = π2 (עבור k = 0 במשפחה הראשונה). זה קצה התחום.
אפשרות 2:
1 − 2sin x = 0
📐 פתרון המשוואה cos x = cos a
x = a + 2πk
x = −a + 2πk
x = −a + 2πk
סעיף א – שלב 2: משווים את הנגזרת ל־0 · המשך
1 − 2sin x = 0
sin x = 12
הזווית שהסינוס שלה 12 היא π6 :
x = π6 + 2πk
📐 פתרון המשוואה sin x = sin a
x = π − π6 + 2πk = 5π6 + 2πk
בתחום 0 ≤ x ≤ π2 מתקבל רק x = π6 . הפתרון 5π6 גדול מ־π2 .
📐 פתרון המשוואה sin x = sin a
x = a + 2πk
x = π − a + 2πk
x = π − a + 2πk
סעיף א – שלב 2: משווים את הנגזרת ל־0 · המשך
בתחום 0 ≤ x ≤ π2 מתקבל רק x = π6 . הפתרון 5π6 גדול מ־π2 .
x = π6 , x = π2
✅ פתרון סופי: x = π6 , x = π2 (קצה התחום)
סעיף א – שלב 3: סוג הנקודות ושיעורי y
קביעת סוג הנקודות – נסמן על ציר את π6 ואת קצות התחום 0 ו־π2 . נציב מספר מכל תחום בנגזרת המפורקת f′(x) = 2cos x · (1 − 2sin x) :
f′(π12) ≈ 1.93 · 0.48 ≈ 0.93 > 0
f′(π3) = 2 · 12 · (1 − √3) ≈ −0.73 < 0
את הערכים מחשבים במחשבון במצב רדיאנים (R על המסך), למשל 2 cos ( π ÷ 12 ) = נותן 1.93
לפני π6 הפונקציה עולה ואחריה יורדת – מקסימום.
📐 עלייה וירידה
📐 עלייה וירידה
f′(x) > 0 – הפונקציה עולה ↗
f′(x) < 0 – הפונקציה יורדת ↘
f′(x) < 0 – הפונקציה יורדת ↘
סעיף א – שלב 3: סוג הנקודות ושיעורי y · המשך
לפני π6 הפונקציה עולה ואחריה יורדת – מקסימום.
📐 עלייה וירידה
שיעור ה־y של כל נקודה – מציבים בפונקציה עצמה. נכתוב את הפונקציה:
f(x) = 2sin x + cos(2x)
נציב x = π6 :
f(π6) = 2sin π6 + cos(2 · π6)
sin π6 = 12 , cos π3 = 12
📐 ערכים מיוחדים
📐 עלייה וירידה
f′(x) > 0 – הפונקציה עולה ↗
f′(x) < 0 – הפונקציה יורדת ↘
f′(x) < 0 – הפונקציה יורדת ↘
📐 ערכים מיוחדים
sin π6 = 12
cos π3 = 12
cos π3 = 12
סעיף א – שלב 3: סוג הנקודות ושיעורי y · המשך
sin π6 = 12 , cos π3 = 12
📐 ערכים מיוחדים
f(π6) = 2 · 12 + cos π3
f(π6) = 1 + 12 = 32
נציב את קצות התחום x = 0 ו־x = π2 :
f(0) = 2sin 0 + cos(2 · 0)
f(0) = 0 + 1 = 1
📐 ערכים מיוחדים
sin π6 = 12
cos π3 = 12
cos π3 = 12
סעיף א – שלב 3: סוג הנקודות ושיעורי y · המשך
f(0) = 0 + 1 = 1
f(π2) = 2sin π2 + cos(2 · π2)
f(π2) = 2 · 1 + cos π = 2 − 1 = 1
✅ פתרון סופי: מקסימום (π6 , 32) , מינימום קצה (0 , 1) , מינימום קצה (π2 , 1)
לבדיקה – הגרף
כך נראה הגרף בתחום – נקודת מקסימום אחת ושני קצוות נמוכים:
✅ פתרון סופי: הנקודות על הגרף מתאימות לתשובה
📌 סיכום התשובות
סעיף א
מקס. (π6 , 32) , מינ. קצה (0 , 1) , (π2 , 1)
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא